Matematiikka

Ma­te­ma­tii­kan ase­ma ai­kam­me kult­tuu­ris­sa edel­lyt­tää val­miut­ta ym­mär­tää, hyö­dyn­tää ja tuot­taa ma­te­maat­ti­ses­ti esi­tet­tyä tie­toa. Sil­lä on mer­kit­tä­vä tai rat­kai­se­va roo­li muun mu­as­sa tie­teis­sä, tek­no­lo­gi­as­sa, ta­lou­des­sa, yrit­tä­jyy­des­sä, ter­vey­den­huol­los­sa ja tur­val­li­suu­des­sa. Ma­te­ma­tii­kan ope­tuk­sen teh­tä­vä­nä on tu­tus­tut­taa opis­ke­li­ja ma­te­maat­ti­sen ajat­te­lun mal­lei­hin sekä ma­te­ma­tii­kan pe­rus­i­de­oi­hin ja ra­ken­tei­siin, opet­taa käyt­tä­mään pu­hut­tua ja kir­joi­tet­tua ma­te­ma­tii­kan kiel­tä sekä ke­hit­tää las­ke­mi­sen, il­mi­öi­den mal­lin­ta­mi­sen ja on­gel­mien rat­kai­se­mi­sen tai­to­ja.
Ope­tuk­sen läh­tö­koh­dat va­li­taan opis­ke­li­joi­ta kiin­nos­ta­vis­ta ai­heis­ta, il­mi­öis­tä ja nii­hin liit­ty­vis­tä on­gel­mis­ta. Ope­tuk­ses­sa käy­te­tään vaih­te­le­via työ­ta­po­ja, jois­sa opis­ke­li­jat työs­ken­te­le­vät yk­sin ja yh­des­sä. Ope­tus­ti­lan­teet jär­jes­te­tään si­ten, että ne he­rät­tä­vät opis­ke­li­jan te­ke­mään ha­vain­to­jen­sa poh­jal­ta ky­sy­myk­siä, ole­tuk­sia ja pää­tel­miä sekä pe­rus­te­le­maan nii­tä. Eri­tyi­ses­ti opis­ke­li­jaa oh­ja­taan hah­mot­ta­maan ma­te­maat­tis­ten kä­sit­tei­den mer­ki­tyk­siä ja tun­nis­ta­maan, kuin­ka ne liit­ty­vät laa­jem­piin ko­ko­nai­suuk­siin. Opis­ke­li­jaa roh­kais­taan myös käyt­tä­mään ajat­te­lua tu­ke­via ku­via, piir­rok­sia ja vä­li­nei­tä sekä tu­e­taan opis­ke­li­jan tai­toa siir­tyä toi­ses­ta ma­te­maat­ti­sen tie­don esi­tys­muo­dos­ta toi­seen.
Opis­ke­li­jaa kan­nus­te­taan ke­hit­tä­mään luo­via rat­kai­su­ja ma­te­maat­ti­siin on­gel­miin. Ope­tuk­ses­sa tut­ki­taan ma­te­ma­tii­kan ja arki­e­lä­män vä­li­siä yh­teyk­siä sekä tie­toi­ses­ti käy­te­tään eteen tu­le­via mah­dol­li­suuk­sia opis­ke­li­jan per­soo­nal­li­suu­den ke­hit­tä­mi­seen, mikä tar­koit­taa muun mu­as­sa hä­nen kiin­nos­tuk­sen­sa oh­jaa­mis­ta, ko­kei­lui­hin kan­nus­ta­mis­ta sekä tie­don­han­kin­ta­pro­ses­sien ke­hit­tä­mis­tä.
Opis­ke­li­ja har­jaan­nu­te­taan käyt­tä­mään tie­to­kone­oh­jel­mis­to­ja ma­te­ma­tii­kan op­pi­mi­sen ja tut­ki­mi­sen sekä on­gel­man­rat­kai­sun apu­vä­li­nei­nä. Ma­te­ma­tii­kan opis­ke­lus­sa hyö­dyn­ne­tään muun mu­as­sa dy­naa­mi­sen ma­te­ma­tii­kan oh­jel­mis­to­ja, sym­bo­li­sen las­ken­nan oh­jel­mis­to­ja, ti­las­to-oh­jel­mis­to­ja, tau­luk­ko­las­ken­taa, teks­tin­kä­sit­te­lyä sekä mah­dol­li­suuk­sien mu­kaan di­gi­taa­li­sia tie­don­läh­tei­tä. Tär­ke­ää on myös ar­vi­oi­da apu­vä­li­nei­den hyö­dyl­li­syyt­tä ja käy­tön ra­jal­li­suut­ta. Edel­lä mai­ni­tuis­ta apu­vä­li­neis­tä käy­te­tään jat­kos­sa ni­mi­tys­tä tek­ni­set apu­vä­li­neet.

Arviointi

Moni­puo­li­sel­la ar­vi­oin­nil­la ja kan­nus­ta­val­la pa­laut­teel­la tu­e­taan opis­ke­li­jan ma­te­maat­ti­sen ajat­te­lun ja itse­luot­ta­muk­sen ke­hit­ty­mis­tä sekä yllä­pi­de­tään ja vah­vis­te­taan opis­ke­lu­mo­ti­vaa­ti­o­ta. Ar­vi­oin­ti oh­jaa opis­ke­li­jaa ke­hit­tä­mään ma­te­ma­tii­kan osaa­mis­taan ja ym­mär­tä­mis­tään sekä pit­kä­jän­tei­sen työs­ken­te­lyn tai­to­ja. Sil­lä au­te­taan opis­ke­li­jaa ke­hit­tä­mään ma­te­maat­tis­ten rat­kai­su­jen esit­tä­mis­tä, tu­e­taan hän­tä kä­sit­tei­den muo­dos­ta­mis­pro­ses­sis­sa ja oh­ja­taan oman työn ar­vi­oi­mi­seen. On­nis­tu­nut pa­lau­te aut­taa opis­ke­li­jaa huo­maa­maan vah­vuu­ten­sa sekä sen, mitä ja mi­ten tie­to­ja ja tai­to­ja tu­li­si edel­leen ke­hit­tää.
Ar­vi­oin­nis­sa kiin­ni­te­tään huo­mi­o­ta las­ku­tai­toon, me­ne­tel­mien ja tek­nis­ten apu­vä­li­nei­den va­lin­taan ja käyt­töön sekä pää­tel­mien täs­mäl­li­seen ja joh­don­mu­kai­seen pe­rus­te­le­mi­seen.

Oppimäärän vaihtaminen

Ma­te­ma­tii­kan oppi­mää­rää vaih­det­ta­es­sa pit­käs­tä ly­hy­een kurs­se­ja lu­e­taan hy­väk­si seu­raa­vas­ti: MAA02 → MAB02, MAA03 → MAB03, MAA06 → MAB07 ja MAA08 → MAB04 ja MAA10 → MAB05. Muut pit­kän oppi­mää­rän mu­kai­set opin­not voi­vat olla ly­hy­en oppi­mää­rän pai­kal­li­sia sy­ven­tä­viä tai pai­kal­li­sia so­vel­ta­via kurs­se­ja ope­tus­suun­ni­tel­mas­sa pää­tet­tä­väl­lä ta­val­la. Jos opis­ke­li­ja pyy­tää, hä­nel­le tu­lee jär­jes­tää mah­dol­li­suus lisä­näyt­töi­hin osaa­mis­ta­son to­te­a­mi­sek­si. Siir­ryt­tä­es­sä ly­hy­em­mäs­tä pi­tem­pään oppi­mää­rään voi­daan opis­ke­li­jal­ta edel­lyt­tää lisä­näyt­tö­jä, ja täs­sä yh­tey­des­sä myös arvo­sana har­ki­taan uu­del­leen.
Opis­ke­li­ja voi opis­kel­la myös toi­sen oppi­mää­rän kurs­se­ja oppi­mää­rää vaih­ta­mat­ta. Täl­löin ky­sei­set kurs­sit voi­daan lu­kea hy­väk­si opis­ke­li­jan var­si­nai­sen oppi­mää­rän pai­kal­li­sik­si sy­ven­tä­vik­si tai pai­kal­li­sik­si so­vel­ta­vik­si kurs­seik­si ope­tus­suun­ni­tel­mas­sa pää­tet­tä­väl­lä ta­val­la.

Matematiikan yhteinen opintokokonaisuus

Ma­te­ma­tii­kan yh­tei­sen opin­to­ko­ko­nai­suu­den teh­tä­vä­nä on he­rät­tää opis­ke­li­jan kiin­nos­tus ma­te­ma­tiik­kaa koh­taan muun mu­as­sa tu­tus­tut­ta­mal­la hä­net ma­te­ma­tii­kan mo­ni­nai­seen mer­ki­tyk­seen ih­mi­sel­le ja yh­teis­kun­nal­le sekä sen ai­nut­laa­tui­seen ja kieh­to­vaan ole­muk­seen tie­teen­a­la­na. Täs­sä opin­to­ko­ko­nai­suu­des­sa opis­ke­li­jal­la on ti­lai­suus vah­vis­taa poh­jaa ma­te­ma­tii­kan opin­noil­leen ja näh­dä ma­te­ma­tiik­ka hyö­dyl­li­se­nä ja käyt­tö­kel­poi­se­na se­li­tet­tä­es­sä ja hal­lit­ta­es­sa muun mu­as­sa yh­teis­kun­nan, ta­lou­den ja luon­non ta­pah­tu­mia ja ti­lan­tei­ta.

Pakollinen kurssi

1.  Lu­vut ja luku­jo­not (MAY01)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• poh­tii ma­te­ma­tii­kan mer­ki­tys­tä yk­si­lön ja yh­teis­kun­nan näkö­kul­mas­ta
• ker­taa ja täy­den­tää luku­a­lu­eet, ker­taa pe­rus­las­ku­toi­mi­tuk­set ja pro­sent­ti­las­ken­nan peri­aat­teet
• vah­vis­taa ym­mär­rys­tään funk­ti­on kä­sit­tees­tä
• ym­mär­tää luku­jo­non kä­sit­teen
• osaa mää­rit­tää luku­jo­no­ja, kun an­ne­taan alku­eh­dot ja tapa, jol­la seu­raa­vat ter­mit muo­dos­te­taan
• saa ha­vain­nol­li­sen kä­si­tyk­sen luku­jo­non sum­man mää­rit­tä­mi­ses­tä
• osaa rat­kais­ta käy­tän­nön on­gel­mia arit­meet­ti­sen ja ge­o­met­ri­sen jo­non ja niis­tä muo­dos­tet­tu­jen sum­mien avul­la
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä funk­ti­on ku­vaa­jan ja luku­jo­no­jen tut­ki­mi­ses­sa sekä luku­jo­noi­hin liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• re­aa­li­lu­vut, pe­rus­las­ku­toi­mi­tuk­set ja pro­sent­ti­las­ken­ta
• funk­tio, ku­vaa­jan piir­to ja tul­kin­ta
• luku­jono
• re­kur­sii­vi­nen luku­jono
• arit­meet­ti­nen jono ja sum­ma
• lo­ga­rit­mi ja po­tens­si sekä nii­den vä­li­nen yh­teys
• muo­toa , x ∈ℕ ole­vien yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­nen
• ge­o­met­ri­nen jono ja sum­ma
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin.

Matematiikan pitkä oppimäärä

Ma­te­ma­tii­kan pit­kän oppi­mää­rän ope­tuk­sen teh­tä­vä­nä on an­taa opis­ke­li­jal­le am­ma­til­lis­ten ja kor­ke­a­kou­lu­o­pin­to­jen edel­lyt­tä­mät ma­te­maat­ti­set val­miu­det sekä ma­te­maat­ti­nen yleis­si­vis­tys. Pit­kän ma­te­ma­tii­kan opin­nois­sa opis­ke­li­jal­la on ti­lai­suus omak­sua ma­te­maat­ti­sia kä­sit­tei­tä ja me­ne­tel­miä sekä op­pia ym­mär­tä­mään ma­te­maat­ti­sen tie­don luon­net­ta. Ope­tus pyr­kii myös an­ta­maan opis­ke­li­jal­le sel­ke­än kä­si­tyk­sen ma­te­ma­tii­kan mer­ki­tyk­ses­tä yh­teis­kun­nan ke­hi­tyk­ses­sä sekä sen so­vel­ta­mis­mah­dol­li­suuk­sis­ta arki­e­lä­mäs­sä, tie­tees­sä ja tek­nii­kas­sa.

Opetuksen tavoitteet

Ma­te­ma­tii­kan pit­kän oppi­mää­rän ope­tuk­sen ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• saa myön­tei­siä op­pi­mis­ko­ke­muk­sia ja tot­tuu pit­kä­jän­tei­seen työs­ken­te­lyyn sekä op­pii nii­den kaut­ta luot­ta­maan omiin ma­te­maat­ti­siin ky­kyi­hin­sä, tai­toi­hin­sa ja ajat­te­luun­sa
• roh­kais­tuu ko­kei­le­vaan ja tut­ki­vaan toi­min­taan, rat­kai­su­jen kek­si­mi­seen sekä nii­den kriit­ti­seen ar­vi­oin­tiin
• ym­mär­tää ja osaa käyt­tää ma­te­ma­tii­kan kiel­tä, ku­ten seu­raa­maan ma­te­maat­ti­sen tie­don esit­tä­mis­tä, lu­ke­maan ma­te­maat­tis­ta teks­tiä, kes­kus­te­le­maan ma­te­ma­tii­kas­ta, ja op­pii ar­vos­ta­maan esi­tyk­sen täs­mäl­li­syyt­tä ja pe­rus­te­lu­jen sel­keyt­tä
• op­pii nä­ke­mään ma­te­maat­ti­sen tie­don loo­gi­se­na ra­ken­tee­na
• ke­hit­tää lau­sek­kei­den kä­sit­te­ly-, päät­te­ly- ja on­gel­man­rat­kai­su­tai­to­jaan
• har­jaan­tuu kä­sit­te­le­mään tie­toa ma­te­ma­tii­kal­le omi­nai­sel­la ta­val­la, tot­tuu te­ke­mään otak­su­mia, tut­ki­maan nii­den oi­keel­li­suut­ta ja laa­ti­maan pe­rus­te­lu­ja sekä ar­vi­oi­maan pe­rus­te­lu­jen pä­te­vyyt­tä ja tu­los­ten yleis­tet­tä­vyyt­tä
• har­jaan­tuu mal­lin­ta­maan käy­tän­nön on­gel­ma­ti­lan­tei­ta ja hyö­dyn­tä­mään eri­lai­sia rat­kai­su­stra­te­gi­oi­ta
  osaa käyt­tää tar­koi­tuk­sen­mu­kai­sia ma­te­maat­ti­sia me­ne­tel­miä, tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä ja tie­to­läh­tei­tä.

Pakolliset kurssit  

2.  Po­ly­no­mi­funk­ti­ot ja -yh­tä­löt (MAA02)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• har­jaan­tuu kä­sit­te­le­mään po­ly­no­mi­funk­ti­oi­ta
• osaa rat­kais­ta toi­sen as­teen po­ly­no­mi­yh­tä­löi­tä ja tut­kia rat­kai­su­jen luku­mää­rää
• osaa rat­kais­ta kor­ke­am­man as­teen po­ly­no­mi­yh­tä­löi­tä, jot­ka voi­daan rat­kais­ta il­man po­ly­no­mien jako­las­kua
• osaa rat­kais­ta yk­sin­ker­tai­sia po­ly­no­mi­epä­yh­tä­löi­tä
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä po­ly­no­mi­funk­ti­on tut­ki­mi­ses­sa ja po­ly­no­mi­yh­tä­löi­hin ja po­ly­no­mi­epä­yh­tä­löi­hin sekä po­ly­no­mi­funk­ti­oi­hin liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• po­ly­no­mien tulo ja muo­toa (a+b)n,n≤3,n∈N ole­vat bi­no­mi­kaa­vat
• 2. as­teen yh­tä­lö ja rat­kai­su­kaa­va sekä juur­ten luku­mää­rän tut­ki­mi­nen
• 2. as­teen po­ly­no­min ja­ka­mi­nen te­ki­jöi­hin
• po­ly­no­mi­funk­tio
• po­ly­no­mi­yh­tä­löi­tä
• po­ly­no­mi­epä­yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin.

3.  Ge­o­met­ria (MAA03)   
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• har­jaan­tuu hah­mot­ta­maan ja ku­vaa­maan ti­laa sekä muo­toa kos­ke­vaa tie­toa sekä kak­si- että kol­mi­u­lot­tei­sis­sa ti­lan­teis­sa
• har­jaan­tuu muo­toi­le­maan, pe­rus­te­le­maan ja käyt­tä­mään ge­o­met­ris­ta tie­toa kä­sit­te­le­viä lau­sei­ta
• osaa rat­kais­ta ge­o­met­ri­sia on­gel­mia käyt­tä­en hy­väk­si ku­vi­oi­den ja kap­pa­lei­den omi­nai­suuk­sia, yh­den­muo­toi­suut­ta, Py­tha­go­raan lau­set­ta sekä suo­ra- ja vino­kul­mai­sen kol­mi­on tri­go­no­met­ri­aa
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä ku­vi­oi­den ja kap­pa­lei­den tut­ki­mi­ses­sa ja ge­o­met­ri­aan liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• ku­vi­oi­den ja kap­pa­lei­den yh­den­muo­toi­suus
• sini- ja ko­si­ni­lau­se
• ym­py­rän, sen osien ja sii­hen liit­ty­vien suo­rien ge­o­met­ria
• ku­vi­oi­hin ja kap­pa­lei­siin liit­ty­vien pi­tuuk­sien, kul­mien, pin­ta-alo­jen ja ti­la­vuuk­sien las­ke­mi­nen
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin.

4.  Vek­to­rit (MAA04)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• ym­mär­tää vek­to­ri­kä­sit­teen ja pe­reh­tyy vek­to­ri­las­ken­nan pe­rus­tei­siin
• osaa tut­kia ku­vi­oi­den omi­nai­suuk­sia vek­to­rei­den avul­la
• ym­mär­tää yh­tä­lö­ryh­män rat­kai­se­mi­sen peri­aat­teen
• osaa tut­kia kak­si- ja kol­mi­u­lot­tei­sen koor­di­naa­tis­ton pis­tei­tä, etäi­syyk­siä ja kul­mia vek­to­rei­den avul­la
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä vek­to­rei­den tut­ki­mi­ses­sa sekä suo­riin ja ta­soi­hin liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• vek­to­rei­den pe­rus­o­mi­nai­suu­det
• vek­to­rei­den yh­teen- ja vä­hen­nys­las­ku ja vek­to­rin ker­to­mi­nen lu­vul­la
• koor­di­naa­tis­ton vek­to­rei­den ska­laa­ri­tulo
• yh­tä­lö­ryh­män rat­kai­se­mi­nen
• suo­rat ja ta­sot ava­ruu­des­sa
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin.

5.  Ana­lyyt­ti­nen ge­o­met­ria (MAA05)    
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• ym­mär­tää, kuin­ka ana­lyyt­ti­nen ge­o­met­ria luo yh­teyk­siä ge­o­met­ris­ten ja al­geb­ral­lis­ten kä­sit­tei­den vä­lil­le
• ym­mär­tää pis­te­jou­kon yh­tä­lön kä­sit­teen ja op­pii tut­ki­maan yh­tä­löi­den avul­la pis­tei­tä, suo­ria, ym­py­röi­tä ja pa­raa­be­le­ja
• sy­ven­tää it­seis­arvo­kä­sit­teen ym­mär­tä­mys­tään ja op­pii rat­kai­se­maan sel­lai­sia yk­sin­ker­tai­sia it­seis­arvo­yh­tä­löi­tä ja vas­taa­via epä­yh­tä­löi­tä, jot­ka ovat tyyp­piä
  | f(x) | = a  tai  | f(x) | = | g(x) |
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä pis­te­jou­kon yh­tä­lön tut­ki­mi­ses­sa sekä yh­tä­löi­den, yh­tä­lö­ryh­mien, it­seis­arvo­yh­tä­löi­den ja epä­yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­ses­sa so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• pis­te­jou­kon yh­tä­lö
• suo­ran, ym­py­rän ja pa­raa­be­lin yh­tä­löt
• it­seis­arvo­yh­tä­lön ja epä­yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen
• pis­teen etäi­syys suo­ras­ta
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin.

6.  De­ri­vaat­ta (MAA06)   
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• osaa mää­rit­tää ra­ti­o­naa­li­funk­ti­on nol­la­koh­dat ja rat­kais­ta yk­sin­ker­tai­sia ra­ti­o­naa­li­epä­yh­tä­löi­tä
• omak­suu ha­vain­nol­li­sen kä­si­tyk­sen funk­ti­on raja-ar­vos­ta, jat­ku­vuu­des­ta ja de­ri­vaa­tas­ta
• osaa mää­rit­tää yk­sin­ker­tais­ten funk­ti­oi­den de­ri­vaa­tat
• osaa tut­kia de­ri­vaa­tan avul­la po­ly­no­mi­funk­ti­on kul­kua ja mää­rit­tää sen ääri­ar­vot
• tie­tää, kuin­ka ra­ti­o­naa­li­funk­ti­on suu­rin ja pie­nin arvo mää­ri­te­tään
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä raja-ar­von, jat­ku­vuu­den ja de­ri­vaa­tan tut­ki­mi­ses­sa ja
• ra­ti­o­naa­li­yh­tä­löi­den ja -epä­yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­ses­sa sekä po­ly­no­mi- ja ra­ti­o­naa­li­funk­ti­on de­ri­vaa­tan mää­rit­tä­mi­ses­sä so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• ra­ti­o­naa­li­yh­tä­lö ja -epä­yh­tä­lö
• funk­ti­on raja-arvo, jat­ku­vuus ja de­ri­vaat­ta
• po­ly­no­mi­funk­ti­on, funk­ti­oi­den tu­lon ja osa­mää­rän de­ri­voi­mi­nen
• po­ly­no­mi­funk­ti­on ku­lun tut­ki­mi­nen ja ääri­ar­vo­jen mää­rit­tä­mi­nen
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

7.  Tri­go­no­met­ri­set funk­ti­ot (MAA07)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• tut­kii tri­go­no­met­ri­sia funk­ti­oi­ta yk­sik­kö­ym­py­rän sym­met­ri­oi­den avul­la
• osaa rat­kais­ta sel­lai­sia tri­go­no­met­ri­sia yh­tä­löi­tä, jot­ka ovat tyyp­piä
  sin f(x) = a  tai  sin f(x) = sin g(x)
• osaa tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den yh­tey­det ja
• osaa de­ri­voi­da yh­dis­tet­ty­jä funk­ti­oi­ta
• osaa tut­kia tri­go­no­met­ri­sia funk­ti­oi­ta de­ri­vaa­tan avul­la
• osaa hyö­dyn­tää tri­go­no­met­ri­sia funk­ti­oi­ta mal­lin­ta­es­saan jak­sol­li­sia il­mi­öi­tä
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den tut­ki­mi­ses­sa ja tri­go­no­met­ris­ten yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­ses­sa ja tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den de­ri­vaat­to­jen mää­rit­tä­mi­ses­sä so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt  

• suun­nat­tu kul­ma ja ra­di­aa­ni
• tri­go­no­met­ri­set funk­ti­ot sym­met­ria- ja jak­sol­li­suus­o­mi­nai­suuk­si­neen
• tri­go­no­met­ris­ten yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­nen
• yh­dis­te­tyn funk­ti­on de­ri­vaat­ta
• tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den de­ri­vaa­tat
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

8.  Juu­ri- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­ot (MAA08)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• ker­taa po­tens­sien­las­ku­sään­nöt mu­kaan lu­kien mur­to­po­tens­sit
• tun­tee juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­oi­den omi­nai­suu­det ja osaa rat­kais­ta nii­hin liit­ty­viä yh­tä­löi­tä
• osaa tut­kia juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­oi­ta de­ri­vaa­tan avul­la
• osaa hyö­dyn­tää eks­po­nent­ti­funk­ti­o­ta mal­lin­ta­es­saan eri­lai­sia kas­va­mi­sen ja vä­he­ne­mi­sen il­mi­öi­tä
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­oi­den tut­ki­mi­ses­sa ja juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­ses­sa sekä juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­on de­ri­vaat­to­jen mää­rit­tä­mi­ses­sä so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• po­tens­sien las­ku­sään­nöt
• juu­ri­funk­ti­ot ja -yh­tä­löt
• eks­po­nent­ti­funk­ti­ot ja -yh­tä­löt
• lo­ga­rit­mi­funk­ti­ot ja -yh­tä­löt
• juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­oi­den de­ri­vaa­tat
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

9.  In­teg­raa­li­las­ken­ta (MAA09)  
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• ym­mär­tää in­teg­raa­li­funk­ti­on kä­sit­teen ja op­pii mää­rit­tä­mään al­keis­funk­ti­oi­den in­teg­raa­li­funk­ti­oi­ta
• ym­mär­tää mää­rä­tyn in­teg­raa­lin kä­sit­teen ja sen yh­tey­den pin­ta-alaan
• osaa mää­rit­tää pin­ta-alo­ja ja ti­la­vuuk­sia mää­rä­tyn in­teg­raa­lin avul­la
• pe­reh­tyy in­teg­raa­li­las­ken­nan so­vel­luk­siin
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä funk­ti­on omi­nai­suuk­sien tut­ki­mi­ses­sa ja in­teg­raa­li­funk­ti­on mää­rit­tä­mi­ses­sä sekä mää­rä­tyn in­teg­raa­lin las­ke­mi­ses­sa so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt  

• in­teg­raa­li­funk­tio
• al­keis­funk­ti­oi­den in­teg­raa­li­funk­ti­ot
• mää­rät­ty in­teg­raa­li
• pin­ta-alan ja ti­la­vuu­den las­ke­mi­nen
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

10.  To­den­nä­köi­syys ja ti­las­tot (MAA10)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• osaa ha­vain­nol­lis­taa dis­kreet­te­jä ja jat­ku­via ti­las­tol­li­sia ja­kau­mia sekä mää­rit­tää ja tul­ki­ta ja­kau­mien tun­nus­lu­ku­ja
• pe­reh­tyy kom­bi­na­to­ri­siin me­ne­tel­miin
• pe­reh­tyy to­den­nä­köi­syy­den kä­sit­tee­seen ja to­den­nä­köi­syyk­sien las­ku­sään­töi­hin
• ym­mär­tää dis­kree­tin to­den­nä­köi­syys­ja­kau­man kä­sit­teen ja op­pii mää­rit­tä­mään ja­kau­man odo­tus­ar­von ja so­vel­ta­maan sitä
• pe­reh­tyy jat­ku­van to­den­nä­köi­syys­ja­kau­man kä­sit­tee­seen ja op­pii so­vel­ta­maan nor­maa­li­ja­kau­maa
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä di­gi­taa­li­ses­sa muo­dos­sa ole­van da­tan ha­ke­mi­ses­sa, kä­sit­te­lys­sä ja tut­ki­mi­ses­sa sekä ja­kau­mien tun­nus­lu­ku­jen mää­rit­tä­mi­ses­sä ja to­den­nä­köi­syyk­sien las­ke­mi­ses­sa an­ne­tun ja­kau­man ja pa­ra­met­rien avul­la.

Kes­kei­set si­säl­löt

• dis­kreet­ti ja jat­ku­va ti­las­tol­li­nen ja­kau­ma
• ja­kau­man tun­nus­lu­vut
• klas­si­nen ja ti­las­tol­li­nen to­den­nä­köi­syys
• kom­bi­na­to­riik­ka
• to­den­nä­köi­syyk­sien las­ku­sään­nöt
• dis­kreet­ti ja jat­ku­va to­den­nä­köi­syys­ja­kau­ma
• dis­kree­tin ja­kau­man odo­tus­arvo
• nor­maa­li­ja­kau­ma
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

Val­ta­kun­nal­li­set sy­ven­tä­vät kurs­sit
VÄL
11.  Luku­te­o­ria ja to­dis­ta­mi­nen (MAA11)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• pe­reh­tyy lo­gii­kan al­kei­siin ja tu­tus­tuu to­dis­tus­peri­aat­tei­siin sekä har­joit­te­lee to­dis­ta­mis­ta
• hal­lit­see luku­te­o­ri­an pe­rus­kä­sit­teet ja pe­reh­tyy alku­lu­ku­jen omi­nai­suuk­siin
• osaa tut­kia koko­nais­lu­ku­jen ja­ol­li­suut­ta jako­yh­tä­lön ja koko­nais­lu­ku­jen kong­ru­ens­sin avul­la
• sy­ven­tää ym­mär­rys­tään luku­jo­nois­ta ja nii­den sum­mis­ta
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä lu­ku­jen omi­nai­suuk­sien tut­ki­mi­ses­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• kon­nek­tii­vit ja to­tuus­ar­vot
• ge­o­met­ri­nen to­dis­ta­mi­nen
• suo­ra, kään­tei­nen ja ris­ti­rii­ta­to­dis­tus
• in­duk­ti­o­to­dis­tus
• koko­nais­lu­ku­jen ja­ol­li­suus ja jako­yh­tä­lö
• Euk­lei­deen al­go­rit­mi
• alku­lu­vut ja Era­tost­he­neen seu­la
• arit­me­tii­kan pe­rus­lau­se
• koko­nais­lu­ku­jen kong­ru­ens­si
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

12.  Al­go­rit­mit ma­te­ma­tii­kas­sa (MAA12)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• sy­ven­tää al­go­rit­mis­ta ajat­te­lu­aan
• osaa tut­kia ja se­lit­tää, kuin­ka al­go­rit­mit toi­mi­vat
• ym­mär­tää ite­roin­nin kä­sit­teen ja op­pii rat­kai­se­maan epä­li­ne­aa­ri­sia yh­tä­löi­tä nu­mee­ri­ses­ti
• osaa tut­kia po­ly­no­mien ja­ol­li­suut­ta ja osaa mää­rit­tää po­ly­no­min te­ki­jät
• osaa mää­rit­tää nu­mee­ri­ses­ti muu­tos­no­peut­ta ja pin­ta-alaa
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä al­go­rit­mien tut­ki­mi­ses­sa ja las­ku­toi­mi­tuk­sis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• ite­roin­ti ja New­ton-Raph­so­nin me­ne­tel­mä
• po­ly­no­mien jako­al­go­rit­mi
• po­ly­no­mien jako­yh­tä­lö
• New­ton-Co­tes-kaa­vat: suo­ra­kai­de­sään­tö, puo­li­suun­ni­kas­sään­tö ja Simp­so­nin sään­tö
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

13.  Dif­fe­ren­ti­aa­li- ja in­teg­raa­li­las­ken­nan jat­ko­kurs­si (MAA13)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• sy­ven­tää dif­fe­ren­ti­aa­li- ja in­teg­raa­li­las­ken­nan te­o­reet­tis­ten pe­rus­tei­den tun­te­mus­taan
• osaa tut­kia ai­dos­ti mo­no­to­nis­ten funk­ti­oi­den kään­teis­funk­ti­oi­ta
• täy­den­tää in­teg­raa­li­las­ken­nan tai­to­jaan ja so­vel­taa nii­tä muun mu­as­sa jat­ku­vien to­den­nä­köi­syys­ja­kau­mien tut­ki­mi­seen
• osaa tut­kia luku­jo­non raja-ar­voa, sar­jo­ja ja nii­den sum­mia
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä funk­ti­on omi­nai­suuk­sien tut­ki­mi­ses­sa ja de­ri­vaa­tan las­ke­mi­ses­sa an­ne­tun muut­tu­jan suh­teen sekä epä­o­leel­lis­ten in­teg­raa­lien, luku­jo­non raja-ar­von ja sar­jan sum­man las­ke­mi­ses­sa so­vel­lus­teh­tä­vis­sä.

Kes­kei­set si­säl­löt  

• funk­ti­on jat­ku­vuu­den ja de­ri­voi­tu­vuu­den tut­ki­mi­nen
• jat­ku­vien ja de­ri­voi­tu­vien funk­ti­oi­den ylei­siä omi­nai­suuk­sia
• kään­teis­funk­tio
• kah­den muut­tu­jan funk­tio ja osit­tais­de­ri­vaat­ta
• funk­ti­oi­den ja luku­jo­no­jen raja-ar­vot ää­ret­tö­myy­des­sä
• epä­o­leel­li­set in­teg­raa­lit
• luku­jo­non raja-arvo, sar­jat ja nii­den sum­ma
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

Soveltavat kurssit

14. Ma­te­ma­tii­kan ker­taus­kurs­si (MAA14)
Ker­ra­taan lu­ki­o­kurs­sin kes­kei­set koh­dat ja val­mis­tau­du­taan yli­op­pi­las­kir­joi­tuk­siin.
Ar­vi­oin­ti: suo­ri­tus­mer­kin­tä.

Matematiikan lyhyt oppimäärä

Ma­te­ma­tii­kan ly­hy­en oppi­mää­rän ope­tuk­sen teh­tä­vä­nä on tar­jo­ta val­miuk­sia hank­kia, kä­si­tel­lä ja ym­mär­tää ma­te­maat­tis­ta tie­toa ja käyt­tää ma­te­ma­tiik­kaa elä­män eri ti­lan­teis­sa ja jat­ko-opin­nois­sa. Ope­tus pyr­kii myös an­ta­maan opis­ke­li­jal­le sel­ke­än kä­si­tyk­sen ma­te­ma­tii­kan mer­ki­tyk­ses­tä yh­teis­kun­nan ke­hi­tyk­ses­sä sekä sen so­vel­ta­mis­mah­dol­li­suuk­sis­ta arki­e­lä­mäs­sä ja mo­nis­sa eri tie­teis­sä.

Opetuksen tavoitteet

Ma­te­ma­tii­kan ly­hy­en oppi­mää­rän ope­tuk­sen ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• osaa käyt­tää ma­te­ma­tiik­kaa joka­päi­väi­sen elä­män ja yh­teis­kun­nal­li­sen toi­min­nan apu­vä­li­nee­nä
• saa myön­tei­siä op­pi­mis­ko­ke­muk­sia ma­te­ma­tii­kan pa­ris­sa työs­ken­nel­les­sään, op­pii luot­ta­maan omiin ky­kyi­hin­sä, tai­toi­hin­sa ja ajat­te­luun­sa ja roh­kais­tuu ko­kei­le­vaan, tut­ki­vaan ja kek­si­vään op­pi­mi­seen
• hank­kii sel­lai­sia ma­te­maat­ti­sia tie­to­ja, tai­to­ja ja val­miuk­sia, jot­ka an­ta­vat riit­tä­vän poh­jan jat­ko-opin­noil­le
• si­säis­tää ma­te­ma­tii­kan mer­ki­tyk­sen vä­li­nee­nä, jol­la il­mi­öi­tä voi­daan ku­va­ta, se­lit­tää ja mal­lin­taa ja jota voi­daan käyt­tää joh­to­pää­tös­ten te­ke­mi­ses­sä
• ke­hit­tää kä­si­tys­tään ma­te­maat­ti­sen tie­don luon­tees­ta ja sen loo­gi­ses­ta ra­ken­tees­ta
• har­jaan­tuu vas­taan­ot­ta­maan ja ana­ly­soi­maan vies­ti­mien ma­te­maat­ti­ses­sa muo­dos­sa tar­jo­a­maa in­for­maa­ti­o­ta ja ar­vi­oi­maan sen luo­tet­ta­vuut­ta
• tu­tus­tuu ma­te­ma­tii­kan mer­ki­tyk­seen kult­tuu­rin ke­hi­tyk­ses­sä
• osaa käyt­tää ku­vi­oi­ta, kaa­vi­oi­ta ja mal­le­ja ajat­te­lun apu­na
• osaa käyt­tää tar­koi­tuk­sen­mu­kai­sia ma­te­maat­ti­sia me­ne­tel­miä, tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä ja tie­to­läh­tei­tä.

Pakolliset kurssit

2.  Lau­sek­keet ja yh­tä­löt (MAB02)
Ta­voit­teet  

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• har­jaan­tuu käyt­tä­mään ma­te­ma­tiik­kaa joka­päi­väi­sen elä­män on­gel­mien rat­kai­se­mi­ses­sa ja op­pii luot­ta­maan omiin ma­te­maat­ti­siin ky­kyi­hin­sä
• ym­mär­tää li­ne­aa­ri­sen riip­pu­vuu­den, ver­ran­nol­li­suu­den ja toi­sen as­teen po­ly­no­mi­funk­ti­on kä­sit­teet
• vah­vis­taa yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­sen tai­to­jaan ja op­pii rat­kai­se­maan toi­sen as­teen yh­tä­löi­tä
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä po­ly­no­mi­funk­ti­on tut­ki­mi­ses­sa ja po­ly­no­mi­yh­tä­löi­hin sekä po­ly­no­mi­funk­ti­oi­hin liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• suu­rei­den vä­li­nen li­ne­aa­ri­nen riip­pu­vuus ja ver­ran­nol­li­suus
• on­gel­mien muo­toi­le­mi­nen yh­tä­löik­si
• yh­tä­löi­den ja yh­tä­lö­pa­rien graa­fi­nen ja al­geb­ral­li­nen rat­kai­se­mi­nen
• rat­kai­su­jen tul­kin­ta ja ar­vi­oi­mi­nen
• toi­sen as­teen po­ly­no­mi­funk­tio ja toi­sen as­teen yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

3.  Ge­o­met­ria (MAB03)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• har­jaan­tuu te­ke­mään ha­vain­to­ja ja pää­tel­miä ku­vi­oi­den ja kap­pa­lei­den ge­o­met­ri­sis­ta omi­nai­suuk­sis­ta
• vah­vis­taa taso­ku­vi­oi­den ja kol­mi­u­lot­teis­ten kap­pa­lei­den ku­vien piir­tä­mi­sen tai­to­jaan
• osaa rat­kais­ta käy­tän­nön on­gel­mia ge­o­met­ri­aa hy­väk­si käyt­tä­en
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä ku­vi­oi­den ja kap­pa­lei­den tut­ki­mi­ses­sa ja ge­o­met­ri­aan liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• ku­vi­oi­den yh­den­muo­toi­suus
• suo­ra­kul­mai­sen kol­mi­on tri­go­no­met­ria
• Py­tha­go­raan lau­se ja Py­tha­go­raan lau­seen kään­teis­lau­se
• ku­vi­oi­den ja kap­pa­lei­den pin­ta-alan ja ti­la­vuu­den mää­rit­tä­mi­nen
• ge­o­met­ri­an me­ne­tel­mien käyt­tö koor­di­naa­tis­tos­sa
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

4.  Ma­te­maat­ti­sia mal­le­ja (MAB04)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• nä­kee re­aa­li­maa­il­man il­mi­öis­sä sään­nön­mu­kai­suuk­sia ja riip­pu­vuuk­sia ja ku­vaa nii­tä ma­te­maat­ti­sil­la mal­leil­la
• tot­tuu ar­vi­oi­maan mal­lien hy­vyyt­tä ja käyt­tö­kel­poi­suut­ta
• tu­tus­tuu en­nus­tei­den te­ke­mi­seen mal­lien poh­jal­ta
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä po­ly­no­mi- ja eks­po­nent­ti­funk­ti­on omi­nai­suuk­sien tut­ki­mi­ses­sa
• sekä po­ly­no­mi- ja eks­po­nent­ti­yh­tä­löi­den rat­kai­sus­sa so­vel­lus­on­gel­mien yh­tey­des­sä.

Kes­kei­set si­säl­löt

• li­ne­aa­ri­sen ja eks­po­nen­ti­aa­li­sen mal­lin so­vel­ta­mi­nen
• po­tens­si­yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen
• eks­po­nent­ti­yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen lo­ga­rit­min avul­la
• luku­jo­not ma­te­maat­ti­si­na mal­lei­na
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

5.  Ti­las­tot ja to­den­nä­köi­syys (MAB05)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• har­jaan­tuu kä­sit­te­le­mään ja tul­kit­se­maan ti­las­tol­li­sia ai­neis­to­ja
• ar­vi­oi eri­lai­sia reg­res­si­o­mal­le­ja mm. tau­luk­ko­las­ken­ta­oh­jel­man avul­la ja te­kee en­nus­tei­ta mal­lien avul­la
• pe­reh­tyy to­den­nä­köi­syys­las­ken­nan pe­rus­tei­siin
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä di­gi­taa­li­ses­sa muo­dos­sa ole­van da­tan ha­ke­mi­ses­sa, kä­sit­te­lys­sä ja tut­ki­mi­ses­sa sekä dis­kreet­tien ja­kau­mien tun­nus­lu­ku­jen mää­rit­tä­mi­ses­sä ja to­den­nä­köi­syys­las­ken­nas­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• dis­kreet­tien ti­las­tol­lis­ten ja­kau­mien tun­nus­lu­ku­jen mää­rit­tä­mi­nen
• reg­res­si­on ja kor­re­laa­ti­on kä­sit­teet
• ha­vain­to ja poik­ke­a­va ha­vain­to
• en­nus­tei­den te­ke­mi­nen
• kom­bi­na­to­riik­kaa
• to­den­nä­köi­syy­den kä­si­te
• to­den­nä­köi­syy­den las­ku­la­kien ja nii­tä ha­vain­nol­lis­ta­vien mal­lien käyt­töä
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

6.  Ta­lous­ma­te­ma­tiik­ka (MAB06)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• sy­ven­tää pro­sent­ti­las­ken­nan tai­to­jaan
• ym­mär­tää ta­lous­e­lä­mäs­sä käy­tet­ty­jä kä­sit­tei­tä
• ke­hit­tää ma­te­maat­ti­sia val­miuk­si­aan oman ta­lou­ten­sa suun­nit­te­luun
• vah­vis­taa las­ken­nal­lis­ta poh­jaan­sa yrit­tä­jyy­den ja ta­lous­tie­don opis­ke­luun
• so­vel­taa ti­las­tol­li­sia me­ne­tel­miä ai­neis­to­jen kä­sit­te­lyyn
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä las­kel­mien te­ke­mi­ses­sä ja yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­ses­sa so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• in­dek­si-, kus­tan­nus-, raha­lii­ken­ne-, lai­na-, ve­ro­tus- ja mui­ta las­kel­mia
• ta­lou­del­li­siin ti­lan­tei­siin so­vel­tu­via ma­te­maat­ti­sia mal­le­ja luku­jo­no­jen ja sum­mien avul­la
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Kurs­si si­säl­tyy aihe­ko­ko­nai­suu­teen Ak­tii­vi­nen kan­sa­lai­suus, yrit­tä­jyys ja työ­e­lä­mä

Val­ta­kun­nal­li­set sy­ven­tä­vät kurs­sit
VÄL
7.  Ma­te­maat­ti­nen ana­lyy­si (MAB07)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• tut­kii funk­ti­on muu­tos­no­peut­ta graa­fi­sin ja nu­mee­ri­sin me­ne­tel­min
• ym­mär­tää de­ri­vaa­tan kä­sit­teen muu­tos­no­peu­den mit­ta­na
• osaa tut­kia po­ly­no­mi­funk­ti­on kul­kua de­ri­vaa­tan avul­la
• osaa mää­rit­tää so­vel­lus­ten yh­tey­des­sä po­ly­no­mi­funk­ti­on suu­rim­man ja pie­nim­män ar­von
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä funk­ti­on ku­lun tut­ki­mi­ses­sa ja funk­ti­on de­ri­vaa­tan sekä sul­je­tun vä­lin ääri­ar­vo­jen mää­rit­tä­mi­ses­sä so­vel­lus­teh­tä­vis­sä.

Kes­kei­set si­säl­löt

• graa­fi­sia ja nu­mee­ri­sia me­ne­tel­miä
• po­ly­no­mi­funk­ti­on de­ri­vaat­ta
• po­ly­no­mi­funk­ti­on mer­kin ja ku­lun tut­ki­mi­nen
• po­ly­no­mi­funk­ti­on suu­rim­man ja pie­nim­män ar­von mää­rit­tä­mi­nen sul­je­tul­la vä­lil­lä
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

8.  Ti­las­tot ja to­den­nä­köi­syys II (MAB08)
Ta­voit­teet

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• vah­vis­taa ja moni­puo­lis­taa ti­las­to­jen kä­sit­te­ly­tai­to­jaan
• osaa mää­rit­tää ti­las­tol­li­sia tun­nus­lu­ku­ja ja to­den­nä­köi­syyk­siä jat­ku­vien ja­kau­mien avul­la hyö­dyn­tä­en tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä di­gi­taa­li­ses­sa muo­dos­sa ole­van da­tan ha­ke­mi­ses­sa, kä­sit­te­lys­sä ja tut­ki­mi­ses­sa, to­den­nä­köi­syys­ja­kau­man odo­tus­ar­von ja kes­ki­ha­jon­nan mää­rit­tä­mi­ses­sä, to­den­nä­köi­syyk­sien las­ke­mi­ses­sa an­ne­tun ja­kau­man ja pa­ra­met­rien avul­la sekä luot­ta­mus­vä­lin las­ke­mi­ses­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• nor­maa­li­ja­kau­ma ja ja­kau­man nor­mit­ta­mi­sen kä­sit­teet
• tois­to­koe
• bi­no­mi­ja­kau­ma
• luot­ta­mus­vä­lin kä­si­te
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

Soveltavat kurssit

9. Ma­te­ma­tii­kan ker­taus­kurs­si (MAB09)
Vah­vis­te­taan ly­hy­en ma­te­ma­tii­kan las­ku­val­miuk­sia ja val­mis­tau­du­taan yli­op­pi­las­ko­kei­siin. Ar­vi­oin­ti: suo­ri­tus­mer­kin­tä