Pitkä matematiikka

Pakolliset kurssit

MAY01A Lu­vut ja luku­jo­not

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• poh­tii ma­te­ma­tii­kan mer­ki­tys­tä yk­si­lön ja yh­teis­kun­nan näkö­kul­mas­ta
• ker­taa ja täy­den­tää luku­a­lu­eet, ker­taa pe­rus­las­ku­toi­mi­tuk­set ja pro­sent­ti­las­ken­nan peri­aat­teet
• vah­vis­taa ym­mär­rys­tään funk­ti­on kä­sit­tees­tä
• ym­mär­tää luku­jo­non kä­sit­teen
• osaa mää­rit­tää luku­jo­no­ja, kun an­ne­taan alku­eh­dot ja tapa, jol­la seu­raa­vat ter­mit muo­dos­te­taan
• saa ha­vain­nol­li­sen kä­si­tyk­sen luku­jo­non sum­man mää­rit­tä­mi­ses­tä
• osaa rat­kais­ta käy­tän­nön on­gel­mia arit­meet­ti­sen ja ge­o­met­ri­sen jo­non ja niis­tä muo­dos­tet­tu­jen sum­mien avul­la
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä funk­ti­on ku­vaa­jan ja luku­jo­no­jen tut­ki­mi­ses­sa sekä luku­jo­noi­hin liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• re­aa­li­lu­vut, pe­rus­las­ku­toi­mi­tuk­set ja pro­sent­ti­las­ken­ta
• funk­tio, ku­vaa­jan piir­to ja tul­kin­ta
• luku­jono
• re­kur­sii­vi­nen luku­jono
• arit­meet­ti­nen jono ja sum­ma
• lo­ga­rit­mi ja po­tens­si sekä nii­den vä­li­nen yh­teys
• muo­toa , x ∈ℕ ole­vien yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­nen
• ge­o­met­ri­nen jono ja sum­ma

MAA02 Po­ly­no­mi­funk­ti­ot ja -yh­tä­löt

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• har­jaan­tuu kä­sit­te­le­mään po­ly­no­mi­funk­ti­oi­ta
• osaa rat­kais­ta toi­sen as­teen po­ly­no­mi­yh­tä­löi­tä ja tut­kia rat­kai­su­jen luku­mää­rää
• osaa rat­kais­ta kor­ke­am­man as­teen po­ly­no­mi­yh­tä­löi­tä, jot­ka voi­daan rat­kais­ta il­man po­ly­no­mien jako­las­kua
• osaa rat­kais­ta yk­sin­ker­tai­sia po­ly­no­mi­epä­yh­tä­löi­tä
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä po­ly­no­mi­funk­ti­on tut­ki­mi­ses­sa ja po­ly­no­mi­yh­tä­löi­hin ja po­ly­no­mi­epä­yh­tä­löi­hin sekä po­ly­no­mi­funk­ti­oi­hin liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• po­ly­no­mien tulo ja muo­to­a­o­le­vat bi­no­mi­kaa­vat
• as­teen yh­tä­lö ja rat­kai­su­kaa­va sekä juur­ten luku­mää­rän tut­ki­mi­nen
• as­teen po­ly­no­min ja­ka­mi­nen te­ki­jöi­hin
• po­ly­no­mi­funk­tio
• po­ly­no­mi­yh­tä­löi­tä
• po­ly­no­mi­epä­yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen

MAA03 Ge­o­met­ria

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• har­jaan­tuu hah­mot­ta­maan ja ku­vaa­maan ti­laa sekä muo­toa kos­ke­vaa tie­toa sekä kak­si- että kol­mi­u­lot­tei­sis­sa ti­lan­teis­sa
• har­jaan­tuu muo­toi­le­maan, pe­rus­te­le­maan ja käyt­tä­mään ge­o­met­ris­ta tie­toa kä­sit­te­le­viä lau­sei­ta
• osaa rat­kais­ta ge­o­met­ri­sia on­gel­mia käyt­tä­en hy­väk­si ku­vi­oi­den ja kap­pa­lei­den omi­nai­suuk­sia, yh­den­muo­toi­suut­ta, Py­tha­go­raan lau­set­ta sekä suo­ra- ja vino­kul­mai­sen kol­mi­on tri­go­no­met­ri­aa
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä ku­vi­oi­den ja kap­pa­lei­den tut­ki­mi­ses­sa ja ge­o­met­ri­aan liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• ku­vi­oi­den ja kap­pa­lei­den yh­den­muo­toi­suus
• sini- ja ko­si­ni­lau­se
• ym­py­rän, sen osien ja sii­hen liit­ty­vien suo­rien ge­o­met­ria
• ku­vi­oi­hin ja kap­pa­lei­siin liit­ty­vien pi­tuuk­sien, kul­mien, pin­ta-alo­jen ja ti­la­vuuk­sien las­ke­mi­nen

MAA04 Vek­to­rit

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• ym­mär­tää vek­to­ri­kä­sit­teen ja pe­reh­tyy vek­to­ri­las­ken­nan pe­rus­tei­siin
• osaa tut­kia ku­vi­oi­den omi­nai­suuk­sia vek­to­rei­den avul­la
• ym­mär­tää yh­tä­lö­ryh­män rat­kai­se­mi­sen peri­aat­teen
• osaa tut­kia kak­si- ja kol­mi­u­lot­tei­sen koor­di­naa­tis­ton pis­tei­tä, etäi­syyk­siä ja kul­mia vek­to­rei­den avul­la
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä vek­to­rei­den tut­ki­mi­ses­sa sekä suo­riin ja ta­soi­hin liit­ty­vien so­vel­lus­on­gel­mien rat­kai­sus­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• vek­to­rei­den pe­rus­o­mi­nai­suu­det
• vek­to­rei­den yh­teen- ja vä­hen­nys­las­ku ja vek­to­rin ker­to­mi­nen lu­vul­la
• koor­di­naa­tis­ton vek­to­rei­den ska­laa­ri­tulo
• yh­tä­lö­ryh­män rat­kai­se­mi­nen
• suo­rat ja ta­sot ava­ruu­des­sa

MAA05 Ana­lyyt­ti­nen ge­o­met­ria

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• ym­mär­tää, kuin­ka ana­lyyt­ti­nen ge­o­met­ria luo yh­teyk­siä ge­o­met­ris­ten ja al­geb­ral­lis­ten kä­sit­tei­den vä­lil­le
• ym­mär­tää pis­te­jou­kon yh­tä­lön kä­sit­teen ja op­pii tut­ki­maan yh­tä­löi­den avul­la pis­tei­tä, suo­ria, ym­py­röi­tä ja pa­raa­be­le­ja
• sy­ven­tää it­seis­arvo­kä­sit­teen ym­mär­tä­mys­tään ja op­pii rat­kai­se­maan sel­lai­sia yk­sin­ker­tai­sia it­seis­arvo­yh­tä­löi­tä ja vas­taa­via epä­yh­tä­löi­tä, jot­ka ovat tyyp­piä
  | f(x) | = a  tai  | f(x) | = | g(x) |
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä pis­te­jou­kon yh­tä­lön tut­ki­mi­ses­sa sekä yh­tä­löi­den, yh­tä­lö­ryh­mien, it­seis­arvo­yh­tä­löi­den ja epä­yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­ses­sa so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• pis­te­jou­kon yh­tä­lö
• suo­ran, ym­py­rän ja pa­raa­be­lin yh­tä­löt
• it­seis­arvo­yh­tä­lön ja epä­yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen
• pis­teen etäi­syys suo­ras­ta

MAA06 De­ri­vaat­ta

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• osaa mää­rit­tää ra­ti­o­naa­li­funk­ti­on nol­la­koh­dat ja rat­kais­ta yk­sin­ker­tai­sia ra­ti­o­naa­li­epä­yh­tä­löi­tä
• omak­suu ha­vain­nol­li­sen kä­si­tyk­sen funk­ti­on raja-ar­vos­ta, jat­ku­vuu­des­ta ja de­ri­vaa­tas­ta
• osaa mää­rit­tää yk­sin­ker­tais­ten funk­ti­oi­den de­ri­vaa­tat
• osaa tut­kia de­ri­vaa­tan avul­la po­ly­no­mi­funk­ti­on kul­kua ja mää­rit­tää sen ääri­ar­vot
• tie­tää, kuin­ka ra­ti­o­naa­li­funk­ti­on suu­rin ja pie­nin arvo mää­ri­te­tään
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä raja-ar­von, jat­ku­vuu­den ja de­ri­vaa­tan tut­ki­mi­ses­sa ja
• ra­ti­o­naa­li­yh­tä­löi­den ja -epä­yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­ses­sa sekä po­ly­no­mi- ja ra­ti­o­naa­li­funk­ti­on de­ri­vaa­tan mää­rit­tä­mi­ses­sä so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• ra­ti­o­naa­li­yh­tä­lö ja -epä­yh­tä­lö
• funk­ti­on raja-arvo, jat­ku­vuus ja de­ri­vaat­ta
• po­ly­no­mi­funk­ti­on, funk­ti­oi­den tu­lon ja osa­mää­rän de­ri­voi­mi­nen
• po­ly­no­mi­funk­ti­on ku­lun tut­ki­mi­nen ja ääri­ar­vo­jen mää­rit­tä­mi­nen

MAA07 Tri­go­no­met­ri­set funk­ti­ot

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• tut­kii tri­go­no­met­ri­sia funk­ti­oi­ta yk­sik­kö­ym­py­rän sym­met­ri­oi­den avul­la
• osaa rat­kais­ta sel­lai­sia tri­go­no­met­ri­sia yh­tä­löi­tä, jot­ka ovat tyyp­piä
  sin f(x) = a  tai  sin f(x) = sin g(x)
• osaa tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den yh­tey­det ja
• osaa de­ri­voi­da yh­dis­tet­ty­jä funk­ti­oi­ta
• osaa tut­kia tri­go­no­met­ri­sia funk­ti­oi­ta de­ri­vaa­tan avul­la
• osaa hyö­dyn­tää tri­go­no­met­ri­sia funk­ti­oi­ta mal­lin­ta­es­saan jak­sol­li­sia il­mi­öi­tä
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den tut­ki­mi­ses­sa ja tri­go­no­met­ris­ten yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­ses­sa ja tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den de­ri­vaat­to­jen mää­rit­tä­mi­ses­sä so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt  

• suun­nat­tu kul­ma ja ra­di­aa­ni
• tri­go­no­met­ri­set funk­ti­ot sym­met­ria- ja jak­sol­li­suus­o­mi­nai­suuk­si­neen
• tri­go­no­met­ris­ten yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­nen
• yh­dis­te­tyn funk­ti­on de­ri­vaat­ta
• tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den de­ri­vaa­tat

MAA08 Juu­ri- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­ot

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• ker­taa po­tens­sien­las­ku­sään­nöt mu­kaan lu­kien mur­to­po­tens­sit
• tun­tee juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­oi­den omi­nai­suu­det ja osaa rat­kais­ta nii­hin liit­ty­viä yh­tä­löi­tä
• osaa tut­kia juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­oi­ta de­ri­vaa­tan avul­la
• osaa hyö­dyn­tää eks­po­nent­ti­funk­ti­o­ta mal­lin­ta­es­saan eri­lai­sia kas­va­mi­sen ja vä­he­ne­mi­sen il­mi­öi­tä
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­oi­den tut­ki­mi­ses­sa ja juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­ses­sa sekä juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­on de­ri­vaat­to­jen mää­rit­tä­mi­ses­sä so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• po­tens­sien las­ku­sään­nöt
• juu­ri­funk­ti­ot ja -yh­tä­löt
• eks­po­nent­ti­funk­ti­ot ja -yh­tä­löt
• lo­ga­rit­mi­funk­ti­ot ja -yh­tä­löt
• juu­ri-, eks­po­nent­ti- ja lo­ga­rit­mi­funk­ti­oi­den de­ri­vaa­tat

MAA09  In­teg­raa­li­las­ken­ta 

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• ym­mär­tää in­teg­raa­li­funk­ti­on kä­sit­teen ja op­pii mää­rit­tä­mään al­keis­funk­ti­oi­den in­teg­raa­li­funk­ti­oi­ta
• ym­mär­tää mää­rä­tyn in­teg­raa­lin kä­sit­teen ja sen yh­tey­den pin­ta-alaan
• osaa mää­rit­tää pin­ta-alo­ja ja ti­la­vuuk­sia mää­rä­tyn in­teg­raa­lin avul­la
• pe­reh­tyy in­teg­raa­li­las­ken­nan so­vel­luk­siin
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä funk­ti­on omi­nai­suuk­sien tut­ki­mi­ses­sa ja in­teg­raa­li­funk­ti­on mää­rit­tä­mi­ses­sä sekä mää­rä­tyn in­teg­raa­lin las­ke­mi­ses­sa so­vel­lus­on­gel­mis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt  

• in­teg­raa­li­funk­tio
• al­keis­funk­ti­oi­den in­teg­raa­li­funk­ti­ot
• mää­rät­ty in­teg­raa­li
• pin­ta-alan ja ti­la­vuu­den las­ke­mi­nen
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

MAA10  To­den­nä­köi­syys ja ti­las­tot

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• osaa ha­vain­nol­lis­taa dis­kreet­te­jä ja jat­ku­via ti­las­tol­li­sia ja­kau­mia sekä mää­rit­tää ja tul­ki­ta ja­kau­mien tun­nus­lu­ku­ja
• pe­reh­tyy kom­bi­na­to­ri­siin me­ne­tel­miin
• pe­reh­tyy to­den­nä­köi­syy­den kä­sit­tee­seen ja to­den­nä­köi­syyk­sien las­ku­sään­töi­hin
• ym­mär­tää dis­kree­tin to­den­nä­köi­syys­ja­kau­man kä­sit­teen ja op­pii mää­rit­tä­mään ja­kau­man odo­tus­ar­von ja so­vel­ta­maan sitä
• pe­reh­tyy jat­ku­van to­den­nä­köi­syys­ja­kau­man kä­sit­tee­seen ja op­pii so­vel­ta­maan nor­maa­li­ja­kau­maa
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä di­gi­taa­li­ses­sa muo­dos­sa ole­van da­tan ha­ke­mi­ses­sa, kä­sit­te­lys­sä ja tut­ki­mi­ses­sa sekä ja­kau­mien tun­nus­lu­ku­jen mää­rit­tä­mi­ses­sä ja to­den­nä­köi­syyk­sien las­ke­mi­ses­sa an­ne­tun ja­kau­man ja pa­ra­met­rien avul­la.

Kes­kei­set si­säl­löt

• dis­kreet­ti ja jat­ku­va ti­las­tol­li­nen ja­kau­ma
• ja­kau­man tun­nus­lu­vut
• klas­si­nen ja ti­las­tol­li­nen to­den­nä­köi­syys
• kom­bi­na­to­riik­ka
• to­den­nä­köi­syyk­sien las­ku­sään­nöt
• dis­kreet­ti ja jat­ku­va to­den­nä­köi­syys­ja­kau­ma
• dis­kree­tin ja­kau­man odo­tus­arvo
• nor­maa­li­ja­kau­ma
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

Syventävät kurssit

MAA11 Luku­te­o­ria ja to­dis­ta­mi­nen 

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• pe­reh­tyy lo­gii­kan al­kei­siin ja tu­tus­tuu to­dis­tus­peri­aat­tei­siin sekä har­joit­te­lee to­dis­ta­mis­ta
• hal­lit­see luku­te­o­ri­an pe­rus­kä­sit­teet ja pe­reh­tyy alku­lu­ku­jen omi­nai­suuk­siin
• osaa tut­kia koko­nais­lu­ku­jen ja­ol­li­suut­ta jako­yh­tä­lön ja koko­nais­lu­ku­jen kong­ru­ens­sin avul­la
• sy­ven­tää ym­mär­rys­tään luku­jo­nois­ta ja nii­den sum­mis­ta
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä lu­ku­jen omi­nai­suuk­sien tut­ki­mi­ses­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• kon­nek­tii­vit ja to­tuus­ar­vot
• ge­o­met­ri­nen to­dis­ta­mi­nen
• suo­ra, kään­tei­nen ja ris­ti­rii­ta­to­dis­tus
• in­duk­ti­o­to­dis­tus
• koko­nais­lu­ku­jen ja­ol­li­suus ja jako­yh­tä­lö
• Euk­lei­deen al­go­rit­mi
• alku­lu­vut ja Era­tost­he­neen seu­la
• arit­me­tii­kan pe­rus­lau­se
• koko­nais­lu­ku­jen kong­ru­ens­si
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

MAA12 Al­go­rit­mit ma­te­ma­tii­kas­sa 

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• sy­ven­tää al­go­rit­mis­ta ajat­te­lu­aan
• osaa tut­kia ja se­lit­tää, kuin­ka al­go­rit­mit toi­mi­vat
• ym­mär­tää ite­roin­nin kä­sit­teen ja op­pii rat­kai­se­maan epä­li­ne­aa­ri­sia yh­tä­löi­tä nu­mee­ri­ses­ti
• osaa tut­kia po­ly­no­mien ja­ol­li­suut­ta ja osaa mää­rit­tää po­ly­no­min te­ki­jät
• osaa mää­rit­tää nu­mee­ri­ses­ti muu­tos­no­peut­ta ja pin­ta-alaa
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä al­go­rit­mien tut­ki­mi­ses­sa ja las­ku­toi­mi­tuk­sis­sa.

Kes­kei­set si­säl­löt

• ite­roin­ti ja New­ton-Raph­so­nin me­ne­tel­mä
• po­ly­no­mien jako­al­go­rit­mi
• po­ly­no­mien jako­yh­tä­lö
• New­ton-Co­tes-kaa­vat: suo­ra­kai­de­sään­tö, puo­li­suun­ni­kas­sään­tö ja Simp­so­nin sään­tö
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

MAA13 Dif­fe­ren­ti­aa­li- ja in­teg­raa­li­las­ken­nan jat­ko­kurs­si 

Kurs­sin ta­voit­tee­na on, että opis­ke­li­ja

• sy­ven­tää dif­fe­ren­ti­aa­li- ja in­teg­raa­li­las­ken­nan te­o­reet­tis­ten pe­rus­tei­den tun­te­mus­taan
• osaa tut­kia ai­dos­ti mo­no­to­nis­ten funk­ti­oi­den kään­teis­funk­ti­oi­ta
• täy­den­tää in­teg­raa­li­las­ken­nan tai­to­jaan ja so­vel­taa nii­tä muun mu­as­sa jat­ku­vien to­den­nä­köi­syys­ja­kau­mien tut­ki­mi­seen
• osaa tut­kia luku­jo­non raja-ar­voa, sar­jo­ja ja nii­den sum­mia
• osaa käyt­tää tek­ni­siä apu­vä­li­nei­tä funk­ti­on omi­nai­suuk­sien tut­ki­mi­ses­sa ja de­ri­vaa­tan las­ke­mi­ses­sa an­ne­tun muut­tu­jan suh­teen sekä epä­o­leel­lis­ten in­teg­raa­lien, luku­jo­non raja-ar­von ja sar­jan sum­man las­ke­mi­ses­sa so­vel­lus­teh­tä­vis­sä.

Kes­kei­set si­säl­löt  

• funk­ti­on jat­ku­vuu­den ja de­ri­voi­tu­vuu­den tut­ki­mi­nen
• jat­ku­vien ja de­ri­voi­tu­vien funk­ti­oi­den ylei­siä omi­nai­suuk­sia
• kään­teis­funk­tio
• kah­den muut­tu­jan funk­tio ja osit­tais­de­ri­vaat­ta
• funk­ti­oi­den ja luku­jo­no­jen raja-ar­vot ää­ret­tö­myy­des­sä
• epä­o­leel­li­set in­teg­raa­lit
• luku­jo­non raja-arvo, sar­jat ja nii­den sum­ma
• Aihe­ko­ko­nai­suu­det: Ei si­säl­ly aihe­ko­ko­nai­suuk­siin

Soveltavat kurssit

MAA14 Ker­taus­kurs­si
Ker­ra­taan lu­ki­o­kurs­sin kes­kei­set koh­dat ja val­mis­tau­du­taan yli­op­pi­las­kir­joi­tuk­siin. Ar­vi­oin­ti: suo­ri­tus­mer­kin­tä.